统考版2022届高考数学一轮复习选修4_5不等式选讲第二节不等式的证明学案理含解析.docx

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1、高考第二节 不等式的证明【知识重温】一、必记2个知识点1.比较法比较法是证明不等式最基本的方法,可分为作差比较法和作商比较法两种.名称作差比较法作商比较法理论依据a>b⇔a-b>0a<b⇔a-b0,>1⇒a>bb1⇒a<b适用类型适用于具有多项式特征的不等式证明主要适用于积、商、幂、对数、根式形式的不等式证明证明步骤作差→变形→判断符号→得出结论作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论2.综合法和分析法(1)综合法一般地,从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理,论证而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法.综合法又叫顺推证法或由因导果法.(2)分析法证明命题时,从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法。

2、,这是一种执果索因的思考和证明方法.二、必明2个易误点1.用分析法证明不等式一定要注意格式规X.2.运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当.用综合法、分析法证明不等式[互动讲练型][例1] [2020·全国卷Ⅲ]设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.(1)证明:ab+bc+ca<0;(2)用max{a,b,c}表示a,b,c的最大值,证明:max{a,b,c}≥.悟·技法 用综合法证明不等式是“由因导果”,用分析法证明不等式是“执果索因”,它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程,表述简单、 条理清楚,所以在实际应用时,往往用分析法找思路,用综合法写步骤,由此可见,分析法与综合法相互转化,互相渗透,互为前提,充分利用这一辩证关系,可以增加解题思路,开阔视野.[变式练]——(着眼于举一反三)1.设不等式||x+1|-|x-1||<2的解集为A.(1。

3、)求集合A;(2)若a,b,c∈A,求证:>1.考点二 反证法证明不等式[互动讲练型][例2] 若x,y都是正实数,且x+y>2,求证:<2和<2中至少有一个成立.悟·技法利用反证法证明问题的一般步骤 (1)否定原结论;(2)从假设出发,导出矛盾;(3)证明原命题正确.[变式练]——(着眼于举一反三)2.已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求证:a,b,c>0.考点三 放缩法证明不等式[互动讲练型][例3] 若a,b∈R,求证:≤+.悟·技法 在不等式的证明中,“放”和“缩”是常用的推证技巧,常见的放缩变换有:(1)变换分式的分子和分母,如<,>,<,>.上面不等式中k∈N*,k>1.(2)利用函数的单调性.(3)真分数性质“若0<a<b,m>0,则<”.注意:在用放缩法证明不等式时,“放”和“缩”均需把握一个度.[变式练]——(着眼于举一反三)3.设n是正整数,求证:≤。

4、++…+<1.第二节 不等式的证明课堂考点突破考点一例1 解析:(1)由题设可知,a,b,c均不为零,所以ab+bc+ca=[(a+b+c)2-(a2+b2+c2)]=-(a2+b2+c2)<0.(2)不妨设max{a,b,c}=a,因为abc=1,a=-(b+c),所以a>0,b<0,c<0.由bc≤,可得abc≤,故a≥,所以max{a,b,c}≥.变式练1.解析:(1)由已知,令f(x)=|x+1|-|x-1|=由|f(x)|<2得-1<x<1,即A={x|-1<x<1}.(2)要证>1,只需证|1-abc|>|ab-c|,只需证1+a2b2c2>a2b2+c2,只需证1-a2b2>c2(1-a2b2),只需证(1-a2b2)(1-c2)>0,由a,b,c∈A,得-1<ab<1,c2<1,所以(1-a2b2)(1-c2)>0恒成立,综上,>1.考点二例2 证明:假设<2和<2都不成立,则有≥2和≥2同时成立.因为x>0且y>0,所以1+x≥2y,且1+y≥2x.两式相加,得2+x+y≥2x+2y,所以x+y≤2.这与已知条件x+y>2矛盾,因此<2和<2中至少有一个成立.变式练2.证明:(1)设a<0,因为abc>0,所以bc<0.又由a+b+c>0,则b+c>-a>0,所以ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0,与题设矛盾.(2)若a=0,则与abc>0矛盾,所以必有a>0.同理可证:b>0,c>0.综上可证a,b,c>0.考点三例3 证明:当|a+b|=0时,不等式显然成立.当|a+b|≠0时,由0<|a+b|≤|a|+|b|⇒≥,所以=≤==+≤+.变式练3.证明:由2n≥n+k>n(k=1,2,…,n),得≤<.当k=1时,≤<;当k=2时,≤<;…当k=n时,≤<,∴=≤++…+<=1.所以原不等式成立.。

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