统考版2022届高考数学一轮复习选修4_5不等式选讲第一节绝对值不等式学案理含解析.docx

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1、高考选修4-5不等式选讲第一节 绝对值不等式【知识重温】一、必记2个知识点1.含有绝对值的不等式定理(1)定理:对任意实数a和b,有①____________________,其中等号成立的条件为ab≥0.(2)定理中的b以-b代替,则有|a-b|≤|a|+|b|.其中等号成立的条件为②____________.(3)对任意实数a和b,有||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.2.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集:不等式a>0a=0a<0|x|<a③________④________⑤________|x|>a⑥________⑦________⑧________(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:(ⅰ)|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;(ⅱ)|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.(3)|x。

2、-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法.(ⅰ)利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想.(ⅱ)利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想.(ⅲ)通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.二、必明2个易误点1.利用均值不等式必须要找准“对应点”,明确“类比对象”,使其符合几个重要不等式的特征.2.注意检验等号成立的条件,特别是多次使用不等式时,必须使等号同时成立.绝对值三角不等式性质的应用[互动讲练型][例1] [2016·某某卷]设a>0,|x-1|<,|y-2|<,求证:|2x+y-4|3的解集为________.2.[2020·某某卷]设x∈R,解不等式2|x+1|+|x|f(x+1)的解集.悟·技法解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义,通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式。

3、.(2)当不等式两端均为正号时,可通过两边平方的方法,转化为解不含绝对值符号的普通不等式.(3)利用绝对值的几何意义,数形结合求解.考点三 与绝对值不等式有关的参数X围问题[互动讲练型][例2] [2020·全国卷Ⅱ]已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4的解集;(2)若f(x)≥4,求a的取值X围.悟·技法1.研究含有绝对值的函数问题时,根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值符号,转化为分段函数,然后利用数形结合解决,是常用的思想方法.2.f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a;f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.[变式练]——(着眼于举一反三)2.[2021·某某市高三调研考试]已知f(x)=|x+1|+|ax-a+1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3的解集;(2)若x≥1时,不等式f(x)≥x+2恒成立,求a的取值X围.选修。

4、4-5 不等式选讲第一节 绝对值不等式【知识重温】①|a+b|≤|a|+|b| ②ab≤0③{x|-a<x<a} ④∅⑤∅⑥{x|x>a或x<-a} ⑦{x|x∈R且x≠0}⑧R课堂考点突破考点一例1 证明:因为|x-1|<,|y-2|<,所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|≤2|x-1|+|y-2|3,得2x-13,即x2.答案:{x|x2}2.解析:当x>0时,原不等式可化为2x+2+x<4,解得0<x<;当-1≤x≤0时,原不等式可化为2x+2-x<4,解得-1≤x≤0;当x<-1时,原不等式可化为-2x-2-x<4,解得-2<x<-1.综上,原不等式的解集为.3.解析:(1)由题设知f(x)=y=f(x)的图象如图所示.(2)函数y=f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到函数y=f(x+1)的图象.y。

5、=f(x)的图象与y=f(x+1)的图象的交点坐标为.由图象可知当且仅当xf(x+1)的解集为.考点三例2 解析:(1)当a=2时,f(x)=因此,不等式f(x)≥4的解集为.(2)因为f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|≥|a2-2a+1|=(a-1)2,故当(a-1)2≥4,即|a-1|≥2时,f(x)≥4.所以当a≥3或a≤-1时,f(x)≥4.当-1<a<3时,f(a2)=|a2-2a+1|=(a-1)2<4.所以a的取值X围是(-∞,-1]∪[3,+∞).变式练2.解析:(1)解法一 当a=1时,不等式f(x)≥3,即|x+1|+|x|≥3.当x<-1时,-x-1-x≥3,解得x≤-2,所以x≤-2;当-1≤x<0时,x+1-x≥3,无解;当x≥0时,x+1+x≥3,解得x≥1,所以x≥1.综上,不等式f(x)≥3的解集为(-∞,-2]∪[1,+。

6、∞).解法二 当a=1时,f(x)=|x+1|+|x|=,当x<-1时,-2x-1≥3,解得x≤-2,所以x≤-2;当-1≤x<0时,无解;当x≥0时,2x+1≥3,解得x≥1,所以x≥1.综上,不等式f(x)≥3的解集为(-∞,-2]∪[1,+∞).(2)解法一 当x≥1时,不等式f(x)≥x+2,即|ax-a+1|≥1.令g(x)=a(x-1)+1,则g(x)的图象为过定点(1,1)且斜率为a的一族直线,数形结合可知,当a≥0时,|ax-a+1|≥1在[1,+∞)上恒成立.所以,所求a的取值X围为[0,+∞).解法二 当x≥1时,不等式f(x)≥x+2,即|ax-a+1|≥1.所以ax-a+1≤-1或ax-a+1≥1,即a(x-1)≤-2或a(x-1)≥0.当x≥1时,∀a∈R,不等式a(x-1)≤-2不恒成立,当x≥1时,为使不等式a(x-1)≥0恒成立,则a≥0.所以,所求a的取值X围为[0,+∞).。

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