统考版2022届高考数学一轮复习第四章4.1任意角和蝗制及任意角的三角函数学案理含解析.docx

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1、高考第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数【知识重温】一、必记4个知识点1.角的分类(1)任意角可按旋转方向分为①________、②________、③________.(2)按终边位置可分为④________和终边在坐标轴上的角.(3)与角α终边相同的角连同角α在内可以用一个式子来表示,即β=⑤________________.2.象限角第一象限角的集合⑥________________________第二象限角的集合⑦________________________第三象限角的集合⑧________________________第四象限角的集合⑨________________________3.角的度量(1)弧度制:把等于⑩________长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.(2)角的度量制有:⑪________制,⑫________制.(3)换算关系:1°=⑬_______。

2、_rad,1 rad=⑭________.(4)弧长及扇形面积公式:弧长公式为⑮________,扇形面积公式为⑯________________________.4.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么⑰________叫做α的正弦,记作sin α⑱________叫做α的余弦,记作cos α⑲________叫做α的正切,记作tan α各象限符号Ⅰ⑳________________________Ⅱ________________________Ⅲ________________________Ⅳ________________________口诀一全正,二正弦,三正切,四余弦三角函数线有向线段________为正弦线有向线段________为余弦线有向线段________为正切线二、必明3个易误点1.易混概念:第一象限角、。

3、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角,第二、第三类是区间角.2.利用180°=π rad进行互化时,易出现度量单位的混用.3.三角函数的定义中,当P(x,y)是单位圆上的点时有sin α=y,cos α=x,tan α=,但若不是单位圆时,如圆的半径为r,则sin α=,cos α=,tan α=.【小题热身】一、判断正误1.判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)小于90°的角是锐角.(  )(2)角α=kπ+(k∈Z)是第一象限角.(  )(3)若sin α=sin,则α=.(  )(4)-300°角与60°角的终边相同.(  )(5)若A={α|α=2kπ,k∈Z},B={α|α=4kπ,k∈Z},则A=B.(  )二、教材改编2.已知α是第一象限角,那么是(  )A.第一象限角 B.第二象限角C.第一或第二象限角 D.第一或第三象限角3.已知角θ。

4、的终边过点P(-12,5),则sin θ=____________,cos θ=________.三、易错易混4.若一扇形的圆心角为72°,半径为20 cm,则扇形的面积为(  )A.40π cm2B.80π cm2C.40 cm2D.80 cm25.角α的终边经过点P(x,4),且cos α=,则sin α=________.四、走进高考6.[2020·全国卷Ⅱ,2]若α为第四象限角,则(  )A.cos 2α>0 B.cos 2α0 D.sin 2α<0象限角与终边相同的角的表示[自主练透型]1.[2018·全国Ⅱ卷]下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是(  )A.2kπ+45°(k∈Z) B.k·360°+(k∈Z)C.k·360°-315°(k∈Z) D.kπ+(k∈Z)2.设θ是第三象限角,且|cos |=-cos ,则是(  )A.第一象限角 B.第二象限角C.。

5、第三象限角 D.第四象限角3.若sin α0,则α是(  )A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角4.已知角β的终边在直线y=x上,则β的集合S=______________________.悟·技法1.终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合,在平面直角坐标系中画出该直线;(2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角;(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合;(4)求并集化简集合.2.确定kα,(k∈N*)的终边位置3步骤(1)用终边相同角的形式表示出角α的X围;(2)再写出kα或的X围;(3)然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置.考点二 扇形的弧长及面积公式[互动讲练型][例1] 若扇形的周长为10,面积为4,则该扇形的圆心角为________.[变式练]——(着眼于举一反三)1.若去掉本例中“面积为4”,则当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形。

6、面积最大?悟·技法应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.2.若扇形的圆心角α=120°,弦长AB=12 cm,则弧长l=________ cm.3.已知扇形的面积为2,扇形的圆心角的弧度数是,则扇形的周长为________.考点三 三角函数的定义及应用[分层深化型]考向一:三角函数的定义[例2] (1)若α是第二象限角,其终边上有一点P(x,),且cos α=x,则sin α的值是(  )A. B.C. D.-(2)已知角α的终边经过点P(-x,-6),且cos α=-,则+=________.考向二:三角函数值的符号[例3] (1)若++=-1,则x不可能的象限是(  )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 。

7、D.第四象限(2)若θ满足sin θcos θ<0且cos θ-sin θ<0,则θ在第________象限.考向三:三角函数线的应用[例4] 设a=sin 1,b=cos 1,c=tan 1,则a,b,c的大小关系是(  )A.a<b<c B.a<c<bC.b<a<c D.b<c<a悟·技法1.三角函数定义应用策略(1)已知角α的终边与单位圆的交点坐标,可直接根据三角函数的定义求解.(2)已知角α终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解.(3)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义的推广形式求解.(4)已知角α的某三角函数值(含参数)或角α终边上一点P的坐标(含参数),可根据三角函数的定义列方程求参数值.(5)已知角α的终边所在的直线。

8、方程或角α的大小,根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标.2.三角函数值符号的记忆口诀一全正、二正弦、三正切、四余弦.3.三角函数线的两个主要应用(1)三角式比较大小.(2)解三角不等式(方程).[变式练]——(着眼于举一反三)4.sin 2·cos 3·tan 4的值(  )A.小于0 B.大于0C.等于0 D.不存在5.已知角α的终边在直线y=-x上,且cos α<0,则tan α=________.6.已知角α的终边过点P(-3cos θ,4cos θ),其中θ∈,则sin α=________,tan α=________.第四章 三角函数、解三角形第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数【知识重温】①正角 ②负角 ③零角 ④象限角 ⑤k·360°+α(k∈Z) ⑥{α|2kπ<α<2kπ+,k∈Z} ⑦{α|2kπ+<α<2kπ+π,k∈Z} ⑧{α|2kπ+π<α。

9、<2kπ+,k∈Z} ⑨{α|2kπ+<α<2kπ+2π,k∈Z} ⑩半径 ⑪角度 ⑫弧度 ⑬⑭° ⑮l=|α|r⑯S=lr=|α|r2⑰y⑱x⑲⑳正 正 正 正 负 负 负 负 正 负 正 负 MPOMAT【小题热身】1.答案:(1)× (2)× (3)× (4)√(5)×2.解析:因为k·360°<α<90°+k·360°,k∈Z,所以k·180°<<45°+k·180°,k∈Z,当k为奇数时,是第三象限角;当k为偶数时,是第一象限角.答案:D3.解析:r= =13,∴sin θ==,cos θ==-.答案: -4.解析:∵72°=,∴S扇形=αR2=××202=80π(cm2).答案:B5.解析:由题意得=,解得x=0或x=±3,当x=0时,sin α=1;当x=±3时,sin α=.答案:或16.解析:解法一∵α是第四象限角,∴-+2kπ<α<2。

10、kπ,k∈Z,∴-π+4kπ<2α<4kπ,k∈Z,∴角2α的终边在第三、四象限或y轴非正半轴上,∴sin 2α<0,cos 2α可正、可负、可零,故选D.解法二∵α是第四象限角,∴sin α0,∴sin 2α=2sin α cos α<0,故选D.答案:D课堂考点突破考点一1.解析:与角的终边相同的角可以写成2kπ+(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,所以只有答案C正确.答案:C2.解析:∵θ是第三象限角,∴是第二或第四象限角,又|cos |=-cos ,∴cos <0,因此是第二象限角.答案:B3.解析:∵sin α0,∴α在第一、三象限,故sin α0时,α在第三象限.答案:C4.解析:如图,直线x-y=0过原点,倾斜角为60°,在0°~360°X围内,终边落在射线OA上的角是60°,终边落在射线OB上的角是240°,所以以射线OA,OB为终边的角的。

11、集合为:S1={β|β=60°+k·360°,k∈Z},S2={β|β=240°+k·360°,k∈Z},所以角β的集合S=S1∪S2={β|β=60°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=60°+180°+k·360°,k∈Z}={β|β=60°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=60°+(2k+1)·180°,k∈Z},所以角β的集合S={β|β=60°+k·180°,k∈Z}.答案:{β|β=60°+k·180°,k∈Z}考点二例1 解析:设圆心角是θ,半径是r,则,解得或(舍去),故扇形的圆心角为.答案:变式练1.解析:设圆心角为θ,半径为r,则2r+rθ=10,S=θ·r2=r(10-2r)=r(5-r)=-(r-)2+≤.当且仅当r=时,Smax=,θ=2,所以当r=,θ=2时,扇形面积最大.2.解析:设扇形的半径为r cm,如图.由sin 60°=得r=4 cm,所以l=|α。

12、|·r=×4=π(cm).答案:π3.解析:设扇形的弧长为l,半径为R,由题意可得:lR=2,=,解得:l=2,R=2,则扇形的周长为:l+2R=4+2.答案:4+2考点三例2 解析:(1)由三角函数的定义得cos α===x,解得x=0或x=或x=-,∵α是第二象限角,即x<0,∴x=-,∴sin α===.(2)因为角α的终边经过点P(-x,-6),且cos α=-,所以cos α==-,即x=,所以P(-,-6).所以sin α=-,所以tan α==,则+=-+=-.答案:(1)C (2)-例3 解析:(1)当x是第一象限角时,++=3≠-1,故x一定不是第一象限角;当x是第二象限角时,++=1-1-1=-1,即x可以是第二象限角;当x是第三象限角时,++=-1-1+1=-1,即x可以是第三象限角;当x是第四象限角时,++=-1+1-1=-1,即x可以是第四象限角.(2)∵s。

13、in θcos θ<0,∴θ在第二、四象限,又∵cos θ-sin θ<0,∴θ∈(+2kπ,π+2kπ),k∈Z,∴θ在第二象限.答案:(1)A (2)二例4 解析:如图,设∠BOC=1,由于<1<,结合三角函数线的定义有cos 1=OC,sin 1=CB,tan 1=DA,结合几何关系可得cos 1<sin 1<tan 1,即b<a<c.答案:C变式练4.解析:因为<2<3<π<40,cos 30,所以sin 2·cos 3·tan 4<0.答案:A5.解析:如图,由题意知,角α的终边在第二象限,在其上任取一点P(x,y),则y=-x,由三角函数的定义得tan α===-1.答案:-16.解析:因为θ∈,所以cos θ<0,所以r===-5cos θ,所以sin α==-,tan α==-.答案:- -。

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