统考版2022届高考数学一轮复习第四章4.4函数y=Asinωx+φ的图象及简单三角函数模型的应用学案理含解析 (1).docx

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1、高考第四节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及简单三角函数模型的应用【知识重温】一、必记3个知识点1.函数y=sin x的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的步骤2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点.如下表所示.x-ωx+φ⑦____⑧____⑨________⑪____y=Asin(ωx+φ)0A0-A03.简谐振动y=Asin(ωx+φ)中的有关物理量y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT=⑫____f=⑬______ =⑭______ωx+φφ二、必明3个易误点1.函数图象变换要明确,要弄清楚是平移哪个函数的图象,得到哪个函数的图象.2.要注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应先利用诱导公式化为同名函。

2、数.3.由y=Asin ωx的图象得到y=Asin(ωx+φ)的图象时,需平移的单位数应为,而不是|φ|.【小题热身】一、判断正误1.判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)函数y=sin的图象是由y=sin的图象向右平移个单位得到的.(  )(2)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长度一致.(  )(3)函数y=Asin(ωx+φ)的最小正周期为T=.(  )(4)把函数y=sin x的图象上各点纵坐标不变,横坐标缩短为原来的,所得图象对应的函数解析式为y=sinx.(  )二、教材改编2.[必修4·P56练习 T3改编]函数y=2sin的振幅、频率和初相分别为(  )A.2,, B.2,,C.2,, D.2,,-3.[必修4·P55练习 T2改编]为了得到函数y=2sin的图象,可以将函数y=2sin 2x的图象(  )A.向右平移个单位。

3、长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度三、易错易混4.函数f(x)=sin,x∈R的最小正周期为(  )A.   B.π C.2π   D.4π5.函数y=cos x|tan x|的图象为(  )四、走进高考6.[2020·某某卷]已知函数f(x)=sin.给出下列结论:①f(x)的最小正周期为2π;②f是f(x)的最大值;③把函数y=sin x的图象上所有点向左平移个单位长度,可得到函数y=f(x)的图象.其中所有正确结论的序号是(  )A.① B.①③C.②③ D.①②③函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换[自主练透型]1.[2021·某某模拟]将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y=sin的图象,则f(x)=(  )A.sin B.sinC.sin D.sin2.已知函数y=cos.(1)。

4、求它的振幅、周期、初相;(2)用“五点法”作出它在区间[0,π]内的图象;(3)说明y=cos的图象可由y=cos x的图象经过怎样的变换而得到.悟·技法函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种作法五点法设z=ωx+φ,由z取0,,π,,2π来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象图象变换法由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象,有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”[提醒] 平移变换和伸缩变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于ωx加减多少值.考点二 由图象确定y=Asin(ωx+φ)的解析式[互动讲练型][例1] (1)[2020·全国卷Ⅰ]设函数f(x)=cos在[-π,π]的图象大致如图,则f(x)的最小正周期为(  )A.   B.   C.   D.(2)[2021·武昌区高三调。

5、研]函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)=________.悟·技法确定y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的解析式的步骤(1)求A,B,确定函数的最大值M和最小值m,则A=,B=.(2)求ω,确定函数的周期T,则ω=.(3)求φ,常用方法有①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.[变式练]——(着眼于举一反三)1.[2021·某某测试]将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象如图所示,则函数f(x)的解析式是(  )A.f(x)=sin(x∈R)B.f(x)=sin(x∈R)C.f(x)=sin(x∈R)D.f(x)=sin(x∈R)2.[2021·某某省名校高三教学质量检测]已知函数。

6、f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则函数f(x)的单调递减区间为(  )A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)考点三 三角函数图象性质的综合应用[分层深化型]考向一:三角函数模型的应用[例2] 如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为(  )A.5    B.6    C.8    D.10考向二:函数零点(方程根)问题[例3] [2021·某某六中模拟]设函数f(x)=sin,x∈,若方程f(x)=a恰好有三个根x1,x2,x3,且x1<x2<x3,则x1+x2+x3的取值X围是(  )A. B.C. D.考向三:三角函数图象性质的综合[例4] [2020·某某卷]将函数y=3sin的图象向右平移个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是________。

7、________.悟·技法函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质(1)奇偶性:φ=kπ时,函数y=Asin(ωx+φ)为奇函数;φ=kπ+(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+φ)为偶函数.(2)周期性:y=Asin(ωx+φ)具有周期性,其最小正周期为T=.(3)单调性:根据y=sin t和t=ωx+φ(ω>0)的单调性来研究,由-+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)得单调增区间;由+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)得单调减区间.(4)对称性:利用y=sin x的对称中心为(kπ,0)(k∈Z)求解,令ωx+φ=kπ(k∈Z),求得对称中心坐标.利用y=sin x的对称轴为x=kπ+(k∈Z)求解,令ωx+φ=kπ+(k∈Z)得其对称轴方程.[同类练]——(着眼于触类旁通)3.[2021·某某树德中学模拟]为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的平面直角坐标系,设。

8、秒针针尖的坐标为P(x,y).若针尖的初始坐标为P0,当秒针从过点P0的位置(此时t=0)开始走时,点P的纵坐标y与时间t(单位:秒)的函数关系为(  )A.y=sin B.y=sinC.y=sin D.y=sin[变式练]——(着眼于举一反三)4.[2021·某某联考]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)cos(ωx+φ)+cos2(ωx+φ)-的图象相邻的两条对称轴之间的距离为,若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到奇函数g(x)的图象,则f(x)的一个单调递增区间为(  )A.     B.C. D.5.[2020·卷]若函数f(x)=sin(x+φ)+cos x的最大值为2,则常数φ的一个取值为________.[拓展练]——(着眼于迁移应用)6.[2021·某某潍坊高考模拟考试]若函数f(x)=2sin(x+2θ)·cos x(0<θ0),已知f(x)在[0,2π。

9、]有且仅有5个零点.下述四个结论:①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点③f(x)在单调递增④ω的取值X围是其中所有正确结论的编号是(  )A.①④B.②③C.①②③ D.①③④第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及简单三角函数模型的应用【知识重温】①|φ| ②③④⑤A⑥A⑦0 ⑧⑨π ⑩⑪2π ⑫⑬⑭【小题热身】1.答案:(1)√ (2)× (3)× (4)×2.解析:由振幅、频率和初相的定义可知,函数y=2sin的振幅为2,频率为,初相为.故选A项.答案:A3.解析:因为y=2sin 2x=2sin,所以将y=2sin 2x的图象向右平移个单位长度可得y=2sin的图象.答案:A4.解析:最小正周期为T==4π.答案:D5.解析:因为|tan x|≥0,所以当x∈时,cos x≥0,y≥0;当x∈时,cos x≤0,y≤0.答案:。

10、C6.解析:f(x)=sin的最小正周期为2π,①正确;sin=1=f为f(x)的最大值,②错误;将y=sin x的图象上所有点向左平移个单位长度,得到f(x)=sin的图象,③正确.故选B.答案:B课堂考点突破考点一1.解析:由题意知,先将函数y=sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的,再将所得图象向右平移个单位长度即得到函数f(x)的图象,故f(x)=sin=sin.答案:B2.解析:(1)函数y=cos的振幅为1,周期T==π,初相是-.(2)列表:2x--0πx0πy10-10描点,连线.(3)解法一 把y=cos x的图象上所有的点向右平移个单位长度,得到y=cos的图象;再把y=cos的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到y=cos的图象.解法二 将y=cos x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到y=cos 2x的图象;再将y=cos 2x。

11、的图象向右平移个单位长度,得到y=cos=cos的图象.考点二例1 解析:(1)解法一 设函数f(x)的最小正周期为T,由题图可得T-(-π),所以<T<,又因为|ω|=,所以<|ω|<.由题图可知f=0,且-是函数f(x)的上升零点,所以-+=2kπ-(k∈Z),所以-ω=2k-(k∈Z),所以|ω|=|3k-1|(k∈Z).又因为<|ω|<,所以k=0,所以|ω|=,所以T===.故选C.解法二(五点法) 由函数f(x)的图象知,ω×+=-,解得ω=,所以函数f(x)的最小正周期为,故选C.(2)结合题图知函数f(x)的最小正周期T=4×=π,由T=π得ω=2,结合题图知A=,所以f(x)=sin(2x+φ),因为在f(x)的图象上,所以0=sin[2×+φ],所以φ-=kπ(k∈Z),因为0<φ0,|θ|<,则有T==4=π,ω=2,g。

12、=sin=1,则θ=,因此g(x)=sin,f(x)=g=sin=sin,故选A.答案:A2.解析:通解 由题图知,函数f(x)=cos(ωx+φ)的最小正周期T=π,所以ω=2.将点代入f(x)=cos(2x+φ),得1=cos(2×+φ),得+φ=2kπ,k∈Z,则φ=2kπ-,k∈Z,又|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=cos.令2kπ≤2x-≤2kπ+π,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).优解 由题图知,函数f(x)=cos(ωx+φ)的最小正周期T=π,故排除A,C.又函数f(x)在上单调递减,所以函数f(x)=cos(ωx+φ)的单调递减区间为(k∈Z).答案:D考点三例2 解析:由图象可知,ymin=2,因为ymin=-3+k,所以-3+k=2,解得k=5,所以这段时间水深的最大值是ymax=3+k=3+5=8.答案:C。

13、例3 解析:由题意x∈,则2x+∈,画出函数的大致图象,如图所示,由图得,当≤a<1时,方程f(x)=a恰好有三个根,由2x+=得x=,由2x+=得x=,由图知,点(x1,0)与点(x2,0)关于直线x=对称,点(x2,0)与点(x3,0)关于直线x=对称,∴x1+x2=,π≤x3<,则≤x1+x2+x3<,即x1+x2+x3的取值X围是,故选B.答案:B例4 解析:将函数y=3sin的图象向右平移个单位长度,得到y=3sin=3sin的图象,由2x-=+kπ,k∈Z,得对称轴方程为x=+kπ,k∈Z,其中与y轴最近的对称轴的方程为x=-.答案:x=-同类练3.解析:t时刻,秒针针尖经过的圆弧对应的角度为×2π=,以x轴正半轴为始边,P(x,y)所在射线为终边,得P0对应的角度为,则P(x,y)对应的角度为-,由P0可知P(x,y)在单位圆上,所以t时刻P(x,y)的纵坐。

14、标y=sin,故选C.秒杀解 t=0时,纵坐标y=,排除BD;t=10时,观察图形,此时纵坐标y≠1,排除A.选C.答案:C变式练4.解析:f(x)=sin(2ωx+2φ)+cos(2ωx+2φ)=sin,∵函数f(x)的图象相邻的两条对称轴之间的距离为,∴×=,∴ω=1,将f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到奇函数g(x)的图象,∴g(x)=sin=sin,2φ-=kπ(k∈Z),∴φ=+(k∈Z),又0≤φ≤,∴φ=,∴f(x)=sin,令2x+∈(k∈Z),得x∈(k∈Z),取k=0,得x∈,故选C.答案:C5.解析: 易知当y=sin(x+φ),y=cos x同时取得最大值1时,函数f(x)=sin(x+φ)+cos x取得最大值2,故sin(x+φ)=cos x,则φ=+2kπ,k∈Z,故常数φ的一个取值为.答案:拓展练6.解析:由题意,函数f(x)=2sin(x+2θ)·cos x(0<θ<)的图象过点(0,2),可得2sin 2θ=2,即sin 2θ=1,∵0<θ<,∴θ=,故f(x)=2sin(x+2θ)cos x=2cos2x=cos 2x+1,当x=时,f(x)=1,故A,B都不正确;f(x)的最小正周期为=π,故C不正确;显然,f(x)=cos 2x+1∈[0,2],故D正确,故选D.答案:D7.解析:如图,根据题意知,xA≤2π<xB,根据图象可知函数f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点,所以①正确;但可能会有3个极小值点,所以②错误;根据xA≤2π<xB,有≤2π<,得≤ω<,所以④正确;当x∈时,<ωx+<+,因为≤ω<,所以+<<,所以函数f(x)在单调递增,所以③正确.答案:D。

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